Les bases théoriques des fractales

1. Définition des fractales

Une fractale est un sous-ensemble A d’un espace métrique X, tel que A est extrêmement compliqué géométriquement. Le terme " fractal " est issu du latin " fractus " qui signifie brisé, irrégulier. Un objet fractal est une structure géométrique qui se reproduit sans fin à toutes les échelles.

Un objet fractal se caractérise par les propriétés suivantes :

• Ses parties ont la même forme ou structure que l’objet global à la différence quelles sont à une échelle réduite et peuvent être légèrement déformées.
• Sa forme est soit extrêmement irrégulière, soit extrêmement interrompue ou fragmentée, et ce quelle que soit l’échelle d’examen ;
• Il contient des éléments distinctifs dont les échelles sont très variées et couvrent une très large gamme.

2. L’auto-similarité

Un objet fractal est dit self-similaire ou auto-similaire s’il est composé de N copies de lui même, chacune étant une réduction d’un facteur r selon toutes les coordonnées de l’objet global (auxquelles des transformations affines, comme les translations ou rotations peuvent ou non être impliquées). On cite comme exemple la poupée russe qui renferme en elle une poupée plus petite, qui à son tour renferme une troisième poupée similaire et ainsi de suite.

La notion d’auto-similarité revient dans plusieurs contextes car les objets naturelles sont auto-similaires (ou presque) : " les montagnes sont formés de piques qui sont à leurs tours formés de pics plus petits .... ".

Exemple :
Le triangle de Sierpinski : Ce triangle est constitué de trois triangles qui sont une réduction d’un facteur d’échelle de l’ensemble, et chacun des trois triangles est lui même constitué de trois autres triangles qui sont une réduction d’un facteur ...etc.

En prenant en considération l’auto-similarité, on peut représenter les images (les formes redondantes) par un nombre restreint de paramètres, plutôt que de stocker les images de chaque feuille de chaque arbre, ou de chaque pic de chaque montagne, il est possible et préférable de faire appel à une fonction relativement simple qui génère n’importe quel niveau de détails. C’est le théorème de M.F.Barnsley appelé IFS (Iterated Functions System).