Le chaos

Un système chaotique peut être caractérisé par le comportement de l'écart entre 2 de ses trajectoires. Celles-ci sont en général solutions d'un système d'équations différentielles déterministes décrivant l'évolution du système. Quand le système est chaotique, 2 solutions correspondant à 2 conditions initiales infiniment proches divergent exponentiellement l'une par rapport à l'autre. On parle de sensibilité extrême aux conditions initiales.

L'écart suit une loi exponentielle:

est appelé le temps de chaos du système. L'inverse du temps de chaos est l'exposant de Lyapunov. Si ayant mesuré de manière aussi précise que l'on veut (mais pas assez pour distinguer entre les 2 conditions initiales) les paramètres du système (conditions initiales) à un instant t₀, on cherche à calculer son état après un temps très supérieur à on se rend compte que l'écart entre les 2 solutions est tellement grand qu'on ne peut en réalité plus rien dire sur l'état dans lequel se trouve vraiment le système: sachant qu'il y a, en fait, une infinité de conditions initiales possibles entre les deux que nous avons considérés, le système peut se trouver dans une infinité d'états très différents les uns des autres. On a donc en quelque sorte un horizon de prédictibilité qui, comme celui auquel on est habitué (dû à la rotondité de la Terre), n'est pas absolu: la prédiction à court terme (en deçà de l'horizon) reste tout à fait possible!

Remarques:

• A l'heure actuelle, en "théorie du chaos", on analyse le comportement d'un système dont les équations différentielles, décrivant son évolution, sont "classiques". Dans un tel cadre, le comportement chaotique (erreur / écarts divergents) n'apparait que lorsque les équations sont non-linéaires. En Relativité d'Echelle, la situation est très différente en ce sens que la nature fractale de l'espace-temps induit un autre type de chaos qu'on pourrait appeler intrinsèque, inhérent à l'espace-temps. Cela a pour effet qu'un comportement de type chaotique apparait à grande échelle temporelle même dans un système ultra-simple comme le problème à un ou 2 corps (particule test orbitant autour d'un corps beaucoup plus massif ou 2 corps orbitant autour de leur barycentre). Un tel comportement est complètement incompréhensible dans le cadre des théories actuelles.
• Evidemment, si on pouvait mesurer avec une précision infinie tous les paramètres en même temps, le problème disparaitrait. Malheureusement, outre les imprécisions des appareils de mesures, la mécanique quantique (inégalités d'Heisenberg) nous apprend qu'il est physiquement impossible (j'entends par là que l'impossibilité n'est pas d'ordre instrumental mais tient réellement dans la Physique elle-même) de mesurer simultanément avec la précision que nous voulons la position et la vitesse d'une particule, par exemple. Dans ce cas, la connaissance de la position exacte d'une particule entraine une incertitude (ou indétermination) absolue de sa vitesse. Toutefois, il n'est pas interdit de mesurer individuellement une quantité avec une précision absolue. En Relativité d'Echelle, la longueur de Planck constitue une limite inférieure infranchissable (car c'est une asymptote) à la résolution avec laquelle on peut mesurer une position ou une longueur. A cette longueur/résolution, les concepts de position et de longueur deviennent dégénérés: l'Univers entier, mesuré à la résolution de Planck, ainsi que ce qu'il peut contenir, est d'extension égale à la longueur de Planck elle-même!!

Bref, le comportement chaotique est inévitable !