Les outils mathématiques

Les outils mathématiques sur lesquels a été fondée la géométrie des fractales sont :

la théorie de l’espace
la théorie d’itérations
les notions de topologie (géométrie de situation)

La nécessité d’évaluer quantitativement le rapprochement entre deux objets, est une raison d’introduire et d’utiliser les notions de l’espace, de métrique (distance) et des transformations.

1. Quelques définitions dans l’espace

1.1 Notion d’un espace

Dans la géométrie des fractals, nous sommes concernés par la structure des sous-ensembles des variétés d’espaces géométriques très simples. Un tel espace est dénoté par X. Il est l’espace sur lequel on veut dessiner nos fractales. Qu’est-ce qu’une fractal ?, jusqu'à présent, c’est un sous ensemble de l’espace.

1.2 Métrique ou distance

Définition :
Une fonction à valeurs réelles d définie sur XxX, est appelée une distance ou une métrique sur X si elle vérifie, pour tout a, b, c in X, les axiomes suivants :

d(a,b) >= 0 et d(a,a) = 0
d(a,b) = d(b,a) (symétrie)
(a,c) £ d(a,b) + d(b,c) (Inégalité triangulaire)
Si a¹ b alors d(a,b) > 0

Le nombre réel d(a,b) est appelé la distance de a à b.

Définition :
Tout espace X muni de la métrique d est appelé espace métrique et noté (X,d).

1.3 Espace métrique complet

La géométrie des fractales est concernée par la description, la classification, l’analyse et l’observation des sous-ensembles des espaces métriques (X,d).

Définition 1 :
Suite de Cauchy : Une suite {Xn}_n=1,infinie de points dans l’espace métrique (X,d) est appelée une suite de Cauchy, si :
Pour tout e > 0 , il existe N entier, N> 0 tel que d(x_n, x_m)N.

Définition 2 :
Un espace métrique(X,d) est complet, si chaque suite de Cauchy dans X a une limite x in X. C’est à dire : {Xn}_n=1,infinie converge vers x.

1.4 L’espace métrique h(x)

C’est l’espace où l’on étudie la géométrie des fractals ; on travaille généralement dans quelques espaces métriques complets, (IR²,d). Mais pour traiter des images, des dessins ou des sous-ensembles noir et blanc de l’espace, il est nécessaire d’introduire l’espace H.

Définition 1 :
Soit (X,d) un espace métrique complet. H(X) décrit l’espace dont les points sont les sous-ensembles compacts de X autres que l’ensemble vide.

Un sous-ensemble S est compact ssi il est fermé et borné.
La métrique utilisée dans l’espace H(X) est la distance de Haussdorf, notée h.

Définition 2 :
La distance de Haussdorf entre deux ensembles A et B de H(X) est définie par : max(d(A,B),d(B,A))

où : d(A,B) = max {d(x,B), x in A}
et d(x,B) = min {d(x,y), y in B}

2. Transformation des espaces métriques

Soit X un espace. Une transformation (mapping on X) est une fonction
telle que :

Si S inclue dans X alors f(S) ={f(x) :x in S}
Si f(x) = f(y) avec x,y in X alors x = y
f(X) = X

f est dite inversible si et seulement si il est possible de définir une transformation , appelée la transformation inverse de f, telle que f^-1(y) = x, où x in X est le point unique vérifiant y = f(x).

.: Débutant :.

.: Avancé :.