Présentation des fractales

Définition

Une fractale est d'abord un objet géométrique, c'est à dire qu'il représente une forme, une figure. Le concept de fractale a été inventé par le mathématicien MANDELBROT qui c'était rendu compte que certaines figures ne pouvaient pas être décryptées par les concepts de l'époque, c'est à dire par les concepts de ligne, de surfaces, de volumes. Ce sont des figures qui ne peuvent pas été décrite à l'aide de forme simple.

Les fractales possèdent une autre particularité assez étrange, qui est l'autosimilarité. C'est à dire que même en zoomant à l'infini, sur une même fractale, on retombe toujours sur une forme très ressemblante, voir la même, à la figure initiale.

Contrairement aux objets qui nous entourent, les fractales possèdent de nombreuses inégalités et surtout : elles ne possèdent pas de frontière continue, ce qui les caractérisent un peu plus.

Dimension fractale

Tout objet possède une dimension, qui peut être mesurée à partir d'une unité. Par exemple, la taille se mesure en mètre le volume d'une maison en mètre cube.

Pour mesurer, si la dimension est d et le rapport d'homothétie s alors le nombre de morceau n de l'unité choisie est : n = sd

Par exemple, pour mesurer un cube, on place un cube de 1 unité et on remplie un cube trois fois plus grand, le nombre de morceau que l'on peut y mettre est : 3*3*3 =9, car il y a 3 dimensions : on a mesuré 9 mètres carrés.

A partir de n = sd, on obtient la formule donnant la dimension d'un objet : d = log n / log s

Dans l'exemple précédent, on a n = 9, on fait un rapport d'homothétique s = 3 et on obtient : d = log 9 / log 3 = 2

Mais pour les fractales, ça ne se passe pas pareil, une telle dimension n'existe pas. En effet, si on considère la fractale : Les flocons de neiges de Van Koch ( cf. 4. ) : il faut 4 morceaux pour obtenir un morceau 3 fois plus grand. Ainsi : n = 4, s = 3 et donc : d = log 4 / log 3 = 1.2648, qui n'est pas entier.

Il a donc fallu créer : la dimension fractale, qui est une dimension qui se rapproche des objets usuels, car : d(fractale) = log n / log s.

Le chaos

Un des principes de bases de la physique est la causalité, c'est à dire que les mêmes causes produisent les mêmes effets. On peut généraliser en appelant la causalité forte comme : des causes similaires conduisent à des effets similaires, c'est le système déterministe. En fait, ce principe n'est pas vérifié en générale ( exemple : Loto ) . On appelle un système chaotique, un système par lequel le principe de causalité fort ( système déterministe ) n'est pas vérifié. La science, qui connait le plus cet aspect, est la météorologie. Un système chaotique est en fait un système déterministe dynamique qui possède un comportement imprévisible à long terme. Cette imprévisibilité est due à la sensibilité aux conditions initiales, qui fait la particularité des systèmes chaotiques.

Exemple

Certains objets fractals sont très connus comme le « Mandelbrot » ou encore le tapis de Sierpinski. Par exemple, la fractale «les flocons de neige » possède une particularité qui est que son périmètre diverge vers l’infini (suite géométrique de raison 43 ) alors que son aire ne diverge pas (car on peut entourer la fractale d’un cercle qui possède une aire de 2piR² avec R : rayon du cercle ).

Il y a aussi l’éponge de sierpinski qui est assez originale : son volume tant vers zéro. Donc avec une petite éponge « taillée » dans un cube, on peut récupérer le cube entier et en refaire une infinité (en théorie).

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