Modélisation de systèmes chaotiques par des fractales

Principe d'itération

Dans la génération d'objets fractals, on utilise souvent un processus d'itération appelé Feedback : la fonction est évaluée un nombre élevé de fois en utilisant le résultat précédent à chaque nouvelle itération. On définit ainsi la suite :

U0
Un+1 = f(Un)

Les résultats sont visualisés à itérations ou à la fin du programme.

Diagramme de bifurcation

L'évolution d'une épidémie au sein d'une population est un phénomène complexe dépendant de nombreux facteurs. Un modèle simple est de considérer que l'accroissement de la maladie va varier linéairement avec le nombre de personnes déjà atteint, appelons pn cet indice au jour n de l'épidémie, avec 0 < pn < 1. 1 correspond donc à 100% de la population atteinte.
Nous obtenons le modèle :

pn+1 =pn + k*pn
où k est traduit la virulence de la maladie.

Nous pouvons affiner ce modèle en considérant que l'accroissement va aussi du nombre de personnes non-atteintes : 1 -pn. En effet la maladie ne peut progresser si trop de gens sont cloués au lit.
On obtient ainsi la formule que l'on va itérer pour différentes valeurs de k.

pn+1 =pn + k*pn*(1-pn)
Avec p0 = 0.3

On remarque qu'au bout de quelques itérations toute la population est atteinte et que la convergence est plus rapide pour k proche de 1.

Mais pour des valeurs de k > 1 on obtient des valeurs de p > 1, soit étrangement plus de 100 % de la population. Qui plus est certaines valeurs semblent revenir plusieurs fois.

Nous allons alors tracer la fonction pn en fonction de k et plus particulièrement les valeurs d'adhérences, c'est-à-dire les valeurs cycliques qui apparaissent après un grand nombre d'itérations.

Nous voyons que pour k > 2 deux valeurs d'adhérences apparaissent, puis les branches se séparent à nouveau et à partir de k = 2.5 la convergence est chaotique. D'où le nom de diagramme de bifurcation. On observe une structure fractale au niveau des séparations qui sont de plus en plus petites mais toujours similaire.

L'attracteur de Lorenz

Un attracteur est une valeur qui semble " attirer " les solutions d'une équation. C'est-à-dire que la fonction converge, sous certaine condition, inévitablement vers cette valeur.
De plus, on a qualifié cet attracteur d'étrange quand l'attracteur est un ensemble de valeurs qui apparaissent après un nombre important d'itérations. Le processus d'itération se met alors à boucler sur ces valeurs.

Le météorologue américain Edward Lorenz, en travaillant sur un modèle simplifié de l'atmosphère intégrant notamment des phénomènes de convections, est parvenu au triplet d'équations différentielles suivant :

dx/dt = a ( y - x)
dy/dt = bx - y -xz
dz/dt = xy - cz où a, b, c sont des réels positifs

Ce système non-linaire, c'est révélé chaotique et une analyse par itérations successives a mis en évidence deux attracteurs :

Les observations montrent que le point de coordonnées (x, y, z) converge vers l'un des deux attracteur, puis spontanément va se mettre à " tourner " autour de l'autre attracteur. Le changement de point de convergence est chaotique.

Outre le fait que les deux attracteurs ressemblent à des ailes de papillons, la très grandes sensibilités aux conditions initiales de ce système est parfois appelé " Effet Papillon " :

un battement d'ailes d'un papillon au Japon pourrait provoquer un ouragan sur l'Atlantique...

D'autres modèles

Les Fractales permettent de concevoir de nombreux modèles allant des théories sur la formation et les mécanismes de l'univers :

• Répartition des galaxies suivant un modèle fractal.
• Théorie d'un espace-temps fractal de Laurent Nottale intégrant une notion d'échelle dans les théories actuelles.
• Théorie d'un Univers inflatoire auto-reproducteur où l'univers serait une énorme mousse fractale qui se régénérait en permanence.

Mais aussi plus concrètement, des fractals sont utilisés comme modèles pour prévoir les éruptions volcaniques : les Poussières de Cantor.

Ou pour décrire les aérogels qui sont des gels, dont la partie liquide a été remplacée par de l'air. La structure fractale du squelette en polymère assure une grande porosité et une légèreté tout en restant solide.